Question

（2009•淮安模擬）已知函數f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞）．
（1）求f（x）的單調區間和極值；
（2）設a≥1，函數g（x）=x²-3ax+2a²-5，若對于任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₀）成立，求a的取值范圍；
（3）對任意x∈（0，+∞），求證：

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

．

Answer 1

分析：（1）求函數的導數，即可得到函數的單調區間和極值；
（2）分別求出兩個函數的取值范圍，要使對于任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₀）成立，只需2a²-5＜0即可；
（3）結合（1）的結論可證后半部分，再利用構造函數的方式證明前半部分，可得答案．

解答：解：（1）∵函數f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），∴f′（x）=

1

x

-1令其為0可得x=1，
并且當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
故f（x）在x=1處取到極大值f（1）=0
（2）由（1）知，當x₁∈（0，1）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
故f（x₁）＜f（1）=0，
因為a≥1，函數g（x）=x²-3ax+2a²-5，為開口向上的拋物線，對稱軸為x=

3a

2

≥

3

2

故函數g（x）在區間（0，1）上為減函數，故g（1）＜g（x₀）＜g（0），
即g（x₀）＜2a²-5，
要使對于任意x₀∈（0，1），總存在x₁∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₀）成立，
只需2a²-5＜0即可，解得-

10

2

＜a＜

10

2

，
結合a≥1可得1≤a＜

10

2

（3）由（1）可知f（x）在x=1處取到極大值f（1）=0，也是最大值，
故f（x）≤f（1）=0，即lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，當x=1時取等號，
可證ln

x+1

x

=ln(1+

1

x

)≤(1+

1

x

)-1=

1

x

，又1+

1

x

≠1，故ln

x+1

x

＜

1

x

構造函數F（x）=

1

x+1

-ln

x+1

x

，則F′（x）=-

1

(x+1)2

-

x

x+1

(-

1

x2

)=

1

x(x+1)2

＞0
即函數F（x）在x∈（0，+∞）上單調遞增，當x趨向于正無窮大時，F（x）趨向于0，
故F（x）＜0，即

1

x+1

＜ln

x+1

x

，
故有

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

點評：本題為函數導數的綜合應用，構造函數通過導數來解決問題是關鍵，屬中檔題．