Question

已知a為常數，若曲線y=ax²+3x-lnx存在與直線x+y-1=0垂直的切線，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．[-

  1

  2

  ，+∞）
• B．[-

  1

  2

  ，0）
• C．[

  1

  2

  ，+∞）
• D．[1，+∞）

Answer 1

分析：根據題意，曲線y=ax²+3x-lnx存在與直線x+y-1=0垂直的切線，轉化為f′（x）=1有正根，分離參數，求最值，即可得到結論．

解答：解：令y=f（x）═ax²+3x-lnx
由題意，x+y-1=0斜率是-1，則與直線x+y-1=0垂直的切線的斜率是1
∴f′（x）=1有解
∵函數的定義域為{x|x＞0}
∴f′（x）=1有正根
∵f（x）=ax²+3x-lnx
∴f'（x）=2ax+3-

1

x

=1有正根
∴2ax²+2x-1=0有正根
∴2a=

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1
∴2a≥-1
∴a≥-

1

2

故選A．

點評：本題考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．