Question

已知a為常數(shù)，a＞0且a≠1，指數(shù)函數(shù)f（x）=a^x和對(duì)數(shù)函數(shù)g（x）=log_ax的圖象分別為C₁與C₂，點(diǎn)M在曲線C₁上，線段OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與曲線C₁的另一個(gè)交點(diǎn)為N，若曲線C₂上存在一點(diǎn)P，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是點(diǎn)N的橫坐標(biāo)2倍，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

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Answer 1

分析：先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，a^m），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，aⁿ），根據(jù)條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)O、M、N三點(diǎn)共線建立等式，解之求出m，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，a^m），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，aⁿ）
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相等
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a^m，m）
∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是點(diǎn)N的橫坐標(biāo)2倍，
∴m=2n
而O、M、N三點(diǎn)共線則

am

m

=

an

n

= 

a m 2

m 2

解得：a^m=4即m=log_a4
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，log_a4）
故答案為：（4，log_a4）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，同時(shí)考查了理解題意的能力，轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．