Question

【題目】已知數列、滿足： .

（1）求；

（2）設，求數列的通項公式；

（3）設，不等式恒成立時，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）由已知，整理可得遞推公式，從而可算出， ， ；（2）由（1）遞推公式整理可得，即，且，所以數列是以為首項， 為公差的等差數列，所以；（3）由（1）、（2）可求得，而，

所以，則，由條件可知恒成立即可滿足條件，從而構造函數，通過函數的性質可得解當時， 恒成立.

試題解析：（1），

∵，∴.……………………………………6分

（2）∵，∴，

∴數列是以為首項， 為公差的等差數列.

∴.…………………………6分

（3）由于，所以，從而，則.

，

∴，

由條件可知恒成立即可滿足條件，

設，

當時， 恒成立；

當時，由二次函數的性質知不可能成立；

當時，對稱軸， 在為單調遞減函數，

，

∴，∴時， 恒成立.

綜上知： 時， 恒成立.…………………………………………12分