Question

（2012•上海）已知等差數列{a_n}的首項及公差均為正數，令bn=

an

+

a2012-n

(n∈N*，n＜2012)．當b_k是數列{b_n}的最大項時，k=

1006

．

Answer 1

分析：設

an

=x，

a2012-n

=y，由bn=

an

+

a2012-n

(n∈N*，n＜2012)，根據基本不等式（x+y）²=x²+y²+2xy≤x²+y²+x²+y²=2（x²+y²），得b_n²=（

an

+

a2012-n

）²≤2（a_n+a_2012-n）=2（2a₁₀₀₆）=4a₁₀₀₆，由此能求出結果．

解答：解：設

an

=x，

a2012-n

=y，
∵bn=

an

+

a2012-n

(n∈N*，n＜2012)，
∴根據基本不等式（x+y）²=x²+y²+2xy≤x²+y²+x²+y²=2（x²+y²），
得b_n²=（

an

+

a2012-n

）²≤2（a_n+a_2012-n）=2（2a₁₀₀₆）=4a₁₀₀₆，
當且僅當a_n=a_2012-n時，b_n取到最大值，
此時n=1006，所以k=1006．
故答案為：1006．

點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，具體涉及到等差數列的通項公式、基本不等式的性質等基本知識，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．