Question

設A，B，C為單位圓O上不同的三點，則點集A={(x，y)|

OC

=x

OA

+y

OB

，0＜x＜2，0＜y＜2}所對應的平面區域的面積為（　　）

• A、1
• B、

  3

  2

• C、2
• D、

  5

  2

Answer 1

分析：利用數量積的性質將

OC

=x

OA

+y

OB

兩邊平方，再利用已知|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=1，化為
1=x²+y²+2xycos∠AOB，由于0＜x＜2，0＜y＜2．從而由余弦定理可知x、y、1可以構成三角形，且∠AOB不是0°或180°．得到約束條件，畫出可行域即可得出．

解答：解：將

OC

=x

OA

+y

OB

兩邊平方得：

OC

2=x2

OA

2+y2

OB

2+2xy

OA

•

OB

cos∠AOB．
∵|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=1，
∴1=x²+y²+2xycos∠AOB，
∵0＜x＜2，0＜y＜2．
從而由余弦定理可知x、y、1可以構成三角形，且∠AOB不是0°或180°．
于是有：

|x|+|y|≥1 |x|+1≥|y| |y|+1≥|x| 0＜x＜2，0＜y＜2

，化為

x+y≥1 x+1≥y y+1≥x 0＜x＜2，0＜y＜2

畫出平面區域，結合圖形可知約束條件表示的圖形為陰影區域內，
∴表示的平面區域的面積是4-3×

1

2

=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：本題考查了數量積的性質、余弦定理、構成三角形的條件、線性規劃問題，考查了問題的轉化能力，屬于難題．