設A，B，C三點對應的復數分別為z1，z2，z3滿足z1+z2+z3=0，且|z1|=|z2|=|z3|=1
（1）證明：△ABC是內接于單位圓的正三角形；
（2）求S△ABC；
分析：（1）要證明三角形是正三角形，從三角形的邊長入手，根據三角形的模長都是1，得到三個復數對應的點在單位圓上，根據三個復數的和是0，得到其中一個復數可以用其他兩個來表示，利用復數的運算律，得到任意兩個復數的差的模長是相等的．
（2）根據三角形是一個正三角形，且邊長已知，利用正弦定理表示出三角形的面積，計算得到結果．
解答：解：（1）∵|z
1|=|z
2|=|z
3|=1
∴A，B，C三點都在單位圓上
∵A，B，C三點對應的復數分別為z
1，z
2，z
3滿足z
1+z
2+z
3=0
∴z
1=-（z
2+z
3）
∴1=
z1=（z
2+z
3）（
+）=
z3+
z2=-1，
∴|z
2-z
3|
2=（z
2-z
3）（
-）=3，
∴|z
2-z
3|=
，
同理可得|z
1-z
2|=|z
1-z
3|=
，
∴△ABC是內接與單位圓的正三角形，
（2）S
△ABC=
|AB|•|AC|sinA
=
•••= 點評：本題考查復數的代數表示及其幾何意義，考查復數的模長，考查三角形的面積，是一個綜合題，解題的關鍵是怎么證明三角形是正三角形，可以從邊長入手，也可以從角度入手．
