Question

【題目】如圖（1），在直角梯形中，為的中點，四邊形為正方形，將沿折起，使點到達點，如圖（2），為的中點，且，點為線段上的一點.

（1）證明：；

（2）當與夾角最小時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)首先證明、從而建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標，設 ，逐步求出向量、、、的坐標，由推出；(2)求出、的坐標，求出當 值最大時 的取值，從而求出平面與平面的法向量，最后求出兩平面所成銳二面角的余弦值.

解：由為正方形，得，，

∵為的中點，，

∴，即.

設，建立以為坐標原點的空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，，，.

（1）∵點在線段上，∴設，

又，∴，

又，∴，

又，∴，

又，∴，

∴，即.

（2）由（1）知，，

∴，

∴當時，最大，最小，此時.

由題知，平面的一個法向量為，

設平面的一個法向量，

∴，即，

取，得，則，

∴.

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.