Question

已知函數f（x）=e^a-x，其中e是自然對數的底數，a∈R．
（Ⅰ）求函數g（x）=xf（x）的單調區間；
（Ⅱ）試確定函數h（x）=f（x）+x的零點個數，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數零點的判定定理,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由g（x）=xe^a-x，x∈R，得g'（x）=（1-x）e^a-x，令g'（x）=0，得x=1．從而求出函數的單調區間；
（Ⅱ）由h（x）=e^a-x+x，得h'（x）=1-e^a-x．令h'（x）=0，得x=a．求出函數的單調區間，得到h（x）的最小值為h（a）=1+a．再通過討論a的范圍，綜合得出函數的零點個數．

解答： 解：（Ⅰ）∵g（x）=xe^a-x，x∈R，
∴g'（x）=（1-x）e^a-x．                                   
令g'（x）=0，得x=1．
當x變化時，g（x）和g'（x）的變化情況如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	ea-1	↘

故g（x）的單調遞減區間為（1，+∞）；單調遞增區間為（-∞，1）．  
（Ⅱ）∵h（x）=e^a-x+x，
∴h'（x）=1-e^a-x．
令h'（x）=0，得x=a．
當x變化時，h（x）和h'（x）的變化情況如下：

x	（-∞，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	1+a	↗

即h（x）的單調遞增區間為（a，+∞）；單調遞減區間為（-∞，a）． 
∴h（x）的最小值為h（a）=1+a．
①當1+a＞0，即a＞-1時，函數h（x）不存在零點．
②當1+a=0，即a=-1時，函數h（x）有一個零點．
③當1+a＜0，即a＜-1時，h（0）=e^a＞0，
下證：h（2a）＞0．
令m（x）=e^x-2x，則m'（x）=e^x-2．
解m'（x）=e^x-2=0得x=ln2．
當x＞ln2時，m'（x）＞0，
∴函數m（x）在[ln2，+∞）上是增函數．
取x=-a＞1＞ln2，
得：m（-a）=e^-a+2a＞e^ln2-2ln2=2-2ln2＞0．
∴h（2a）=e^-a+2a=m（-a）＞0．
結合函數h（x）的單調性可知，
此時函數h（x）有兩個零點．
綜上，當a＞-1時，函數h（x）不存在零點；
a=-1時，函數h（x）有一個零點；
當a＜-1時，函數h（x）有兩個零點．

點評：本題考察了利用導數研究函數的單調性，函數的最值問題，函數的零點的判斷問題，滲透了分類討論思想，是一道中檔題．