Question

設平面區域D是由雙曲線y²-

x2

4

=1的兩條漸近線和拋物線y²=-8x的準線所圍成的三角形（含邊界與內部）．若點（x，y）∈D，則目標函數z=x+y的最大值與最小值之和為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規劃,雙曲線的簡單性質

專題：不等式的解法及應用

分析：求出雙曲線的漸進性，作出不等式組對應的平面區域，利用線性規劃的知識即可得到結論．

解答： 解：雙曲線y²-

x2

4

=1的兩條漸近線方程為y=±

1

2

x，拋物線y²=-8x的準線準線方程為x=2，
則對應的平面區域如圖：
由z=x+y得y=-x+z，平移直線y=-x+z，由平移可知當直線y=-x+z經過點O時，直線y=-x+z的截距最小，此時z=0，
當y=-x+z經過點A（2，1）時，直線y=-x+z的截距最大，
此時z=x+y=1+2=3，
故目標函數z=x+y的最大值與最小值之和為0+3=3，
故答案為：3

點評：本題主要考查線性規劃的應用，求出雙曲線的漸近線方程以及拋物線的準線方程是解決本題的關鍵．