Question

【題目】已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為F1、F2 ， 這兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF1F2 是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2 ， 則e1e2 的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（ ，+∞）
【解析】解：設橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），
由于△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|=10，
即有m=10，n=2c，
由橢圓的定義可得m+n=2a1 ，
由雙曲線的定義可得m﹣n=2a2 ，
即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），
再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c＞10，
可得c＞ ，即有 ＜c＜5．
由離心率公式可得e1e2= = = ，
由于1＜ ＜4，則有 ＞ ．
則e1e2 的取值范圍為（ ，+∞）．
所以答案是：（ ，+∞）．