Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線l與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，

AF

=3

FB

，A，B在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為D，C．若梯形ABCD的面積為8

3

，則拋物線的方程為（　　）

• A、y²=3

  2

  x
• B、y²=

  3

  2

  x
• C、y²=

  9

  2

  x
• D、y²=

  9

  4

  x

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用拋物線的定義將曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，借助幾何圖形可判斷直線AB的傾斜角，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，依題意表示出焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，求得|x₁-x₂|，進(jìn)而求得|y₁-y₂|，最后利用梯形面積公式建立等式求得p，即可求出拋物線的方程．

解答： 解：不妨點(diǎn)A在第一象限、點(diǎn)B在第四象限，作BC⊥AD，垂足為M，
設(shè)|

FB

|=m，|

AF

|=3m，則由拋物線的定義得|AD|=3m，|BC|=m，
∴|

AB

|=4m，|

AM

|=2m，
∴∠BAM=60°，于是直線l的傾斜角為60°，斜率k=

3

，
拋物線方程為y²=2px，設(shè)A，B點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁，），（x₂，y₂），
∴焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（

p

2

，0），
∴直線AB的方程為y=

3

（x-

p

2

），
代入拋物線方程得3x²-5px+

3p2

4

=0，
∴x₁+x₂=

5p

3

，x₁x₂=

p2

4

，
∴|x₁-x₂|=

4p

3

，
∴|y₁-y₂|=

4 3

3

•p
則梯形ABCD的面積為

1

2

•（AD+BC）•CD=

1

2

（x₁+x₂+p）|y₁-y₂|=

1

2

•

8

3

p•

4 3

3

p=8

3

，
∴p=

3 2

2

，
∴y²=3

2

x．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的概念，突出考查拋物線定義的靈活運(yùn)用，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系．注重了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化和化歸的思想的運(yùn)用．