Question

（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問3分，（Ⅱ）小問5分，（Ⅲ）小問4分）

已知正△的邊長為4，是邊上的高，分別是和邊的中點，現將△沿翻折成直二面角，如圖所示．

       （I）證明：∥平面；

       （II）求二面角的余弦值；

第20題圖

（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使？證明你的結論．

 

                      

Answer 1

解：法一：（I）證明：如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，

得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF．

∴AB∥平面DEF．  ……………………………………………………………………3分

 （II）∵AD⊥CD，BD⊥CD  

 ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角

∴AD⊥BD   ∴AD⊥平面BCD

取CD的中點M，這時EM∥AD   ∴EM⊥平面BCD

過M作MN⊥DF于點N，連結EN，則EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角，   ………………………………………6分

在Rt△EMN中，EM=1，MN=

∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．     ………………………………………8分

（Ⅲ）在線段BC上存在點P，使AP⊥DE    ………………………………………9分

證明：在線段BC上取點P，使，過P作PQ⊥CD與點Q，

∴PQ⊥平面ACD    ∵在等邊△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．                  …………………………………………12分

法二：（Ⅱ）以點D為坐標原點，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，，平面CDF的法向量為設平面EDF的法向量為

則 即

x

所以二面角E—DF—C的余弦值為．     ……………………………………8分

（Ⅲ）在平面坐標系xDy中，直線BC的方程為

       設

      

所以在線段BC上存在點P，使AP⊥DE．      ……………………………………12分