Question

【題目】設函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a為常數(shù)．
（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整數(shù)m，使得g（a）﹣m≤0對于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：對稱軸x=﹣a

①當﹣a≤0a≥0時，

f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，x=0時有最小值f（0）=﹣a﹣1

②當﹣a≥2a≤﹣2時，

f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，x=2時有最小值f（2）=3a+3

③當0＜﹣a＜2﹣2＜a＜0時，

f（x）在[0，2]上是不單調(diào)，x=﹣a時有最小值f（﹣a）=﹣a2﹣a﹣1

∴

（2）解：存在，

由題知g（a）在 是增函數(shù)，在 是減函數(shù)

∴ 時， ，

g（a）﹣m≤0恒成立

g（a）max≤m，

∴

∵m為整數(shù)，

∴m的最小值為0

【解析】（1）由函數(shù)的解析式可得函數(shù)開口方向及對稱軸，分類討論給定區(qū)間與對稱軸的關系，分析函數(shù)的單調(diào)性后，可得最值；（2）若g（a）﹣m≤0恒成立，則m不小于g（a）的最大值，分析函數(shù)g（a）的單調(diào)性求陽其最值可得答案．