Question

【題目】已知直線(xiàn)l：y=3x+3．
（1）求點(diǎn)P（5，3）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)；
（2）求直線(xiàn)l1：x﹣y﹣2=0關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)l2的方程；
（3）已知點(diǎn)M（2，6），試在直線(xiàn)l上求一點(diǎn)N使得|NP|+|NM|的值最小．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'（a，b），

則 ，解得： ，

即點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（﹣4，6）；

（2）解：解方程組 得 ，

即兩直線(xiàn)l與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為

因?yàn)橹本�(xiàn)l與l2關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，所以直線(xiàn)l2必過(guò)點(diǎn) ，

又由（1）可知，點(diǎn)P（5，3）恰好在直線(xiàn)l上，且其關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'（﹣4，6），

所以直線(xiàn)l2必過(guò)點(diǎn)P'（﹣4，6），這樣由兩點(diǎn)式可得： ，

即7x+y+22=0；

（3）解：由（1）得P'（﹣4，6），連接P'M，交直線(xiàn)l于N，連接NP，

則|NP|+|NM|=|NP'|+|NM|=|P'M|最小，

設(shè)出N（x，3x+3），則由P'，M，N共線(xiàn)，可得，

，解得，x=1，

則可得N（1，6）．

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'（a，b），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線(xiàn)垂直的條件列方程，解出即可；（2）首先求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，再由點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的求法求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再由直線(xiàn)方程的形式，即可得到；（3）可由（1）的結(jié)論，連接P'M，交直線(xiàn)l于N，連接NP，再由三點(diǎn)共線(xiàn)的知識(shí)，即可求出N．