【題目】橢圓
過點
，離心率為
，左、右焦點分別為
，過
的直線交橢圓于
兩點．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）當
的面積為
時，求直線的方程．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）直線方程為：
或
。
【解析】
試題（Ⅰ）由已知條件橢圓
過點
，將代入方程，得到一個方程，再由
，可得
，由此能求出橢圓方程．（Ⅱ）當
的面積為
時，求直線的方程，橢圓右焦點
． 當直線的斜率不存在時，驗證不符合條件，故直線的斜率存在，設直線方程
，代入橢圓方程得到關于
的一元二次方程，由
，由根與系數關系即可求出斜率
，從而可得直線的方程。
也可設設直線的方程為
，代入橢圓方程得到關于
的一元二次方程，由根與系數關系即可求出斜率，從而可得直線的方程。
試題解析：（1）因為橢圓過點，所以
①，又因為離心率為
，所以
，所以②，解①②得
所以橢圓的方程為：
（2）①當直線的傾斜角為
時，
，不適合題意
②當直線的傾斜角不為時，設直線方程，
代入得：
設
，則
，
所以直線方程為：或
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年12月18日上午10時，在人民大會堂舉行了慶祝改革開放40周年大會．40年眾志成城，40年砥礪奮進，40年春風化雨，中國人民用雙手書寫了國家和民族發展的壯麗史詩．會后，央視媒體平臺，收到了來自全國各地的紀念改革開放40年變化的老照片，并從眾多照片中抽取了100張照片參加“改革開放40年圖片展”，其作者年齡集中在
之間，根據統計結果，做出頻率分布直方圖如下：
（Ⅰ）求這100位作者年齡的樣本平均數
和樣本方差
（同一組數據用該區間的中點值作代表）；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認為，作者年齡X服從正態分布
，其中
近似為樣本平
均數，
近似為樣本方差．
（i）利用該正態分布，求
；
（ii）央視媒體平臺從年齡在
和
的作者中，按照分層抽樣的方法，抽出了7人參加“紀念改革開放40年圖片展”表彰大會，現要從中選出3人作為代表發言，設這3位發言者的年齡落在區間的人數是Y，求變量Y的分布列和數學期望．附：
，若
，則
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨即抽取該流水線上
件產品作為樣本算出他們的重量（單位：克）重量的分組區間為
，
，……
，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
（1）根據頻率分布直方圖，求重量超過
克的產品數量．
（2）在上述抽取的件產品中任取
件，設
為重量超過克的產品數量，求的分布列．
（3）從流水線上任取
件產品，求恰有件產品合格的重量超過克的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下表是我省某地區2012年至2018年農村居民家庭年純收入
（單位：萬元）的數據如下表：
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
年純收入 | 2 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 6 |
（1）求關于
的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2012年至2018年該地區農村居民家庭年純收入的變化情況，并預測該地區2019年農村居民家庭年純收入（結果精確到0.1）。
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
，
。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“既要金山銀山，又要綠水青山”。某風景區在一個直徑
為
米的半圓形花圓中設計一條觀光線路。打算在半圓弧上任選一點
（與
不重合），沿
修一條直線段小路，在路的兩側（注意是兩側）種植綠化帶；再沿弧
修一條弧形小路，在小路的一側（注意是一側）種植綠化帶，小路與綠化帶的寬度忽略不計。
（1）設
（弧度），將綠化帶的總長度表示為
的函數
；
（2）求綠化帶的總長度的最大值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是平行四邊形，
，側面
底面，
，
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）過
的平面交
于點
，若平面
把四面體
分成體積相等的兩部分，求二面角
的正弦值.
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