【題目】如圖，梯形
中，
，矩形
所在的平面與平面垂直，且
.
（Ⅰ）求證：平面
平面；
（Ⅱ）若
為線段
上一點，直線
與平面
所成的角為
，求的最大值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)
.
【解析】
試題
(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得
平面
，結(jié)合面面垂直的判斷定理可得平面
平面.
(Ⅱ)由題意建立空間直角坐標系，結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量可得
.
試題解析：
（Ⅰ）證明：如圖，取
的中點
，連接
，
則
，所以
，從而四邊形
為平行四邊形，
所以
，從而
.
又因為平面
平面且平面
平面
，
所以平面.又
平面
，
所以平面平面.
（Ⅱ）解：由于是矩形，所以
，
由（Ⅰ）知：平面，
以
為坐標原點，分別以
為
的正方向建立空間直角坐標系
，
各點坐標如下：
，
，
，
，設(shè)點
，
平面
的法向量為
，
則
，
，
令
，得平面的一個法向量為
，
所以
，
當
時，
，從而.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面真角坐標系xOy中，曲線
的參數(shù)方程為
（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立根坐標系．曲線
的極坐標方程為
．
（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）若曲線與曲線交于M，N兩點，直線OM和ON的斜率分別為
和
，求
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取
件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：
（Ⅰ）求這件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)
和樣本方差
（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，記作
，
）；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值
服從正態(tài)分布
，其中
近似為樣本平均數(shù)，
近似為樣本方差．
（i）若使
的產(chǎn)品的質(zhì)量指標值高于企業(yè)制定的合格標準，則合格標準的質(zhì)量指標值大約為多少？
（ii）若該企業(yè)又生產(chǎn)了這種產(chǎn)品
件，且每件產(chǎn)品相互獨立，則這件產(chǎn)品質(zhì)量指標值不低于
的件數(shù)最有可能是多少？
附：參考數(shù)據(jù)與公式：
，
；若
，則①
；②
；③
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，點
在橢圓
上．
（1）求橢圓的方程;
（2）設(shè)動直線
與橢圓有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點
為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點
，
（兩點均不在坐標軸上），且使得直線
，
的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（1）若
，
且
，則
的取值范圍是______.
（2）若，，且
，則
的取值范圍是______.
（3）已知
，且
，則
的最小值是______.
（4）已知實數(shù)
，
，若
，
，且
，則
的最小值______.
（5）已知實數(shù)，，若
，
，則
的最小值______.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在
中，
，斜邊
．
可以通過以直線
為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角
是直二面角．動點
的斜邊
上．
（1）求證：平面
平面
；
（2）求直線
與平面所成角的正弦的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面
是正方形，側(cè)棱
底面，
，
是
的中點.
（1）證明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）若點
在線段
（不包含端點）上，且直線
平面
，求線段
的長.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】若函數(shù)
對定義域內(nèi)的每一個值
，在其定義域內(nèi)都存在唯一的
，使
成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.
（1）判斷函數(shù)
是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)
在定義域
上為“依賴函數(shù)”，求
的取值范圍；
（3）已知函數(shù)
在定義域
上為“依賴函數(shù)”.若存在實數(shù)
，使得對任意的
，不等式
都成立，求實數(shù)
的最大值.
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