Question

如圖，某市新體育公園的中心廣場平面圖如圖所示，在y軸左側的觀光道曲線段是函數，時的圖象且最高點B（-1，4），在y軸右側的曲線段是以CO為直徑的半圓弧.⑴試確定A，和的值；⑵現要在右側的半圓中修建一條步行道CDO（單位：米），在點C與半圓弧上的一點D之間設計為直線段（造價為2萬元/米），從D到點O之間設計為沿半圓弧的弧形（造價為1萬元/米）．設(弧度)，試用來表示修建步行道的造價預算，并求造價預算的最大值？（注：只考慮步行道的長度，不考慮步行道的寬度）

Answer 1

（1）,，；（2）造價預算，，造價預算最大值為（）萬元.

試題分析：（1）此小題實質是考查利用三角函數圖像求三角解析式問題，由最高點B的坐標可求得A的值，又四分之一周期為3，易求得，在此情況下，把B點坐標代入三角解析式中可求得；（2）本小題中步行道分兩部分組成，（如圖）一部分在扇形中利用弧長公式：求得，另一部分在中利用直角三角形的邊角關系求得，兩項相加可得關于的造價預算函數，再用導數工具求得其最值.
試題解析：⑴因為最高點B（-1，4），所以A=4；又，所以，因為，代入點B（-1，4），，又；⑵由⑴可知：，得點C即，取CO中點F，連結DF，因為弧CD為半圓弧，所以，即 ，則圓弧段造價預算為萬元，中，，則直線段CD造價預算為萬元，所以步行道造價預算，．由得當時，，當時，，即在上單調遞增；當時，，即在上單調遞減，所以在時取極大值，也即造價預算最大值為（）萬元．
（圖）