Question

【題目】如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為菱形，AA1⊥底面ABCD，∠BAD=120°，AB=2，E，F分別為CD，AA1的中點．

（Ⅰ）求證：DF∥平面B1AE；

（Ⅱ）若直線AD1與平面B1AE所成角的正弦值為，求AA1的長；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角B1-AE-D1的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）2

【解析】

（I）取AB1的中點G,連接FG,GE,證明四邊形GEDF是平行四邊形,可得DFEG,故而DF平面B1AE；

（II）建立空間坐標系,求出平面B1AE的法向量,設AA1=t（t＞0）,令sinα=|cos＜，＞|===,求出t；

（III）求出兩半平面的法向量,計算法向量的夾角得出二面角的大小

（Ⅰ）證明：取AB1的中點G,連接FG,GE,

∵,FGA1B1,,DEA1B1,

∴FG=DE,FGDE,

∴GEDF是平行四邊形,

∴DFEG,

又DF平面B1AE,EG平面B1AE,

∴DF平面B1AE

解：（Ⅱ）在菱形ABCD中,

∵∠BAD=120°,

∴∠ADC=60°,

∴△ACD是等邊三角形,

∴AE⊥CD,

∴AE⊥AB,

又AA1⊥平面ABCD,

∴AA1⊥AB，AA1⊥AE,

以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,

設AA1=t（t＞0）,

則,

∴,,

設平面B1AE的法向量=（x,y,z）,則,即,

不妨取z=-2,得=（t,0,-2）,

設直線AD1與平面B1AE所成的角為α，

則sinα=|cos＜，＞|===．

解得t=2，即AA1的長為2．

（Ⅲ）設平面D1AE的法向量=（x,y,z）,

∵,

∴,即,

不妨取z=1,得=（2,0,1）,

設二面角B1-AE-D1的平面角為θ,則|cosθ|=|cos＜＞|===

∴,即二面角B1-AE-D1的正弦值為