Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，且的周長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，得到，求出，得到，進(jìn)而可求出橢圓方程；

（2）當(dāng)斜率為時(shí)，得到，易求出結(jié)果；當(dāng)直線不斜率為時(shí)，設(shè)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式等，得到，再令，，將原式化為，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

（1）由題意可得：，

解得：，所以；

故橢圓方程為：；

（2）①當(dāng)直線斜率為時(shí)，

則

②當(dāng)直線不斜率為時(shí)：設(shè)，設(shè)直線方程為，

聯(lián)立方程，得，，

，，所以

令，則式，

又令，則，記為，

其對(duì)稱軸，開(kāi)口向上，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以．