Question

【題目】設a＞0， 是R上的函數，且滿足f（﹣x）=f（x），x∈R．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數．

Answer 1

【答案】
（1）解：取x=1，則f（﹣1）=f（1），即 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∵ ，∴ ．

∴a2=1．

又a＞0，∴a=1

（2）證明：由（1）知 ．

設0＜x1＜x2，則

=

=

= ＜0．

∴f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數

【解析】（1）取x=1，則f（﹣1）=f（1），化簡即可解出．（2）利用單調遞增函數的定義即可證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數奇偶性的性質的理解，了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．