Question

已知一焦點在x軸上，中心在原點的雙曲線的實軸等于虛軸，且圖象經過點．
（1）求該雙曲線的方程；
（2）若直線y=kx+1與該雙曲線只有一個公共點，求實數k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知該雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線方程為，把點（2，）代入方程解出即可；
（2）直線y=kx+1與該雙曲線只有一個公共點，等價于直線與雙曲線的方程構成的方程組只有一解，消去y后得到關于x的方程，然后分類討論即可；
解答：解：（1）∵a=b，∴所求圓錐曲線為等軸雙曲線．
∴設雙曲線方程為，
∵圖象經過點，∴，解得a=1，
∴所求雙曲線方程為x²-y²=1；
（2）由，

，
∴．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及雙曲線方程的求解，考查分類討論思想、數形結合思想，屬中檔題．