Question

（2013•麗水一模）已知中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓過點P（2，3），且它的離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）與圓（x+1）²+y²=1相切的直線l：y=kx+t交橢圓于M，N兩點，若橢圓上一點C滿足

OM

+

ON

=λ

OC

，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知得

4 a2 + 9 b2 =1 c a = 1 2 c2=a2-b2

，解出即可求得a，b；
（Ⅱ）由直線l：y=kx+t與圓（x+1）²+y²=1相切，可得k，t的關系式①，把y=kx+t代入

x2

16

+

y2

12

=1消掉y得x的二次方程，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

OM

+

ON

=λ

OC

得λ

OC

=(x1+x2，y1+y2)，代入韋達定理可求得C點坐標，把點C代入橢圓方程可用k，t表示出λ，再由①式消掉k得關于t的函數，由t²范圍可求得λ²的范圍，進而求得λ的范圍；

解答：解：（Ⅰ） 設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知得：

4 a2 + 9 b2 =1 c a = 1 2 c2=a2-b2

，解得 

a=4 b=2 3 c=2

，
所以橢圓的標準方程為：

x2

16

+

y2

12

=1；

（Ⅱ） 因為直線l：y=kx+t與圓（x+1）²+y²=1相切，
所以

|t-k|

1+k2

=1⇒2k=

t2-1

t

(t≠0)，
把y=kx+t代入

x2

16

+

y2

12

=1并整理得：（3+4k²）x²+8ktx+（4t²-48）=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x1+x2=-

8kt

3+4k2

，y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=

6t

3+4k2

，
因為λ

OC

=(x1+x2，y1+y2)，
所以C(

-8kt

(3+4k2)λ

，

6t

(3+4k2)λ

)，
又因為點C在橢圓上，
所以

4k2t2

(3+4k2)2λ2

+

3t2

(3+4k2)2λ2

=1⇒λ2=

t2

3+4k2

=

1

( 1 t2 )2+( 1 t2 )+1

，
因為t²＞0，所以 (

1

t2

)2+(

1

t2

)+1＞1，
所以0＜λ²＜1，
所以λ的取值范圍為（-1，0）∪（0，1）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查平面向量的運算、直線與圓相切及韋達定理，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，對能力要求高．