Question

某高校在2009年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如圖所示．

組號	分組	頻數	頻率
第1組	[160，165）	5	0.050
第2組	[165，170）	①	0.350
第3組	[170，175）	30	②
第4組	[175，180）	20	0.200
第5組	[180，185）	10	0.100
合計		100	1.00

（1）請先求出頻率分布表中①、②位置相應數據，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖；
（2）為了能選拔出最優秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試？
（3）在（2）的前提下，學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生接受A考官進行面試，求：第4組至少有一名學生被考官A面試的概率？

Answer 1

【答案】分析：（1）由頻率的意義可知，每小組的頻率=，由此計算填表中空格；
（2）先算出第3、4、5組每組學生數，分層抽樣得按比例確定每小組抽取個體的個數，求得第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試．
（3）根據概率公式計算，事件“六位同學中抽兩位同學”有15種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件“第4組的2位同學為B₁，B₂至少有一位同學入選”可能種數是9，那么即可求得事件A的概率．
解答：解：（1）由題可知，第2組的頻數為0.35×100=35人，（1分）
第3組的頻率為，（2分）
頻率分布直方圖如圖所示：（5分）
（2）因為第3、4、5組共有60名學生，
所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，
每組分別為：
第3組：人，（6分）
第4組：人，（7分）
第5組：人，（8分）
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．
（3）設第3組的3位同學為A₁，A₂，A₃，
第4組的2位同學為B₁，B₂，第5組的1位同學為C₁，
則從六位同學中抽兩位同學有15種可能如下：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），
（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），（10分）
其中第4組的2位同學為B₁，B₂至少有一位同學入選的有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，B₁），（B₁，B₂），（A₃，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），9中可能，（12分）
所以其中第4組的2位同學為B₁，B₂至少有一位同學入選的概率為．（15分）
點評：此題考查了對頻數分布直方圖的掌握情況，考查的是概率的求法．如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．