已知函數
在點
處的切線方程為
，且對任意的
，
恒成立.
（Ⅰ）求函數
的解析式；
（Ⅱ）求實數
的最小值；
（Ⅲ）求證：
（
）.
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）先證
，累加即得.
解析試題分析：（Ⅰ）將
代入直線方程得
，∴
① 
，∴
②
聯立，解得
∴
（Ⅱ）
，∴
在上恒成立；
即
在恒成立；
設
，
，
∴只需證對于任意的有
設
，
1）當
，即
時，
，∴
在
單調遞增，∴
2）當
，即
時，設
是方程
的兩根且
由
，可知
，分析題意可知當
時對任意有；
∴
，∴
綜上分析，實數的最小值為.
（Ⅲ）令
，有
即
在恒成立；
令
，得
∴原不等式得證.
考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；函數解析式的求解及常用方法；不等式的證明．
點評：本題考查了利用導數研究函數的切線方程問題，在曲線上某點處的切線的斜率就是該點的導數值，考查了導數在最大值和最小值中的應用，體現了數學轉化思想和分類討論的數學思想．特別是（Ⅲ）的證明，用到了放縮法和裂項相消，此題屬難度較大的題目．
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
函數f(x)＝x2＋x－
.
(I)若定義域為[0,3]，求f(x)的值域；
(II)若f(x)的值域為[－
，
]，且定義域為[a，b]，求b－a的最大值.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x.
（1）求f(π)的值；
（2）當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；
（3）寫出(－∞，＋∞)內函數f(x)的單調區間．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
.
(I)當a=3時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(II)對任意b>0，f(x)在區間[b-lnb，+∞)上是增函數，求實數a的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
時，求函數
的單調區間;
時，求函數
上的最大值.
．
，求曲線
在點
處的切線方程；
的單調區間；
．若至少存在一個
，使得
成立，求實數
的取值范圍．
，
的值域.
時，函數
的表達式； 
的圖象，并指出其單調區間。
，
單調區間；
時，證明：當
時，證明：
。