Question

【題目】已知橢圓，點在橢圓上，橢圓的四個頂點的連線構成的四邊形的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點為橢圓長軸的左端點， 為橢圓上異于橢圓長軸端點的兩點，記直線斜率分別為、，若，請判斷直線是否過定點？若過定點，求該定點坐標，若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】【試題分析】（1）將的坐標代入橢圓方程得到一個方程，利用四邊形的面積可得到另一個方程，結合，聯立方程組可解得的值.（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出判別式和韋達定理，代入，化簡后可求得定點坐標.

【試題解析】

（1）由點在橢圓上可得： ，整理為： ，

由橢圓的四個頂點的連接線構成的四邊形的面積為可得： ，即，

可得，由可解得： ，故橢圓的方程為： ．

（2）設點的坐標分別為，點的坐標為，

故，可得，

設直線的方程為（直線的斜率存在），

可得，

整理為： ，

聯立，消去得： ，

由 ，有，

有， ，

故有： ，

整理得： ，解得： 或，

當時直線的方程為，即，過定點不合題意，

當時直線的方程為，即，過定點．