Question

【題目】如圖所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，側面ABB1A1為菱形，∠DAB=∠DAA1 ．
（Ⅰ）求證：A1B⊥BC；
（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A1AB=60°，點D在平面ABB1A1上的射影恰為線段A1B的中點，求平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接AB1、A1D、BD，設AB1交A1B于點O， 連OD，如圖所示．

由AA1=AB，∠DAB=∠DAA1 ， 可得△AA1D≌△ABD，
所以A1D=BD，
由于O是線段A1B的中點，所以DO⊥A1B，
又根據菱形的性質知AO⊥A1B，所以A1B⊥平面ADO，
所以A1B⊥AD，又因為AD∥BC，所以A1B⊥BC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B⊥AB1 ，
又由題意知DO⊥平面ABB1A1 ，
故可分別以射線、射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示．

設AD=AB=3BC=3a，
由∠A1AB=60°知 ，|OA|=|OB1|= ，
所以|OD|= = ，
從而A（0，﹣ ，0），B（ ，0，0），B1（0， ，0），D（0，0， ），
所以 ．
由 = ，得 ，所以 ．
設平面DCC1D1的一個法向量為 =（x0 ， y0 ， z0），
由 ，得 ，
取y0=1，則 ， ，所以 =（ ）．
又平面ABB1A1的法向量為 ，
所以 ．
故平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大小為 ．
【解析】（Ⅰ）連接AB1、A1D、BD，設AB1交A1B于點O，連OD，推導出△AA1D≌△ABD，從而DO⊥A1B，由菱形的性質知AO⊥A1B，從而A1B⊥平面ADO，進而A1B⊥AD，再由AD∥BC，能證明A1B⊥BC．（Ⅱ）分別以射線、射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大小．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．