Question

【題目】如圖，四邊形為菱形，四邊形為平行四邊形，設與相交于點， ．

（1）證明：平面平面；

（2）若與平面所成角為60°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）根（1）要證面面垂直，需要找線面垂直，本題中重點分析線段，利用條件底面是菱形可得，通過全等可知，從而，故是平面的垂線，從而得證；（2）涉及二面角的計算，一般需要建系設點，計算平面的法向量，利用二面角與法向量夾角之間的關系處理，需要注意建系時分析清楚哪三條線互相垂直．

試題解析：

（1）證明：連接，

∵四邊形為菱形，

∵，

在和中，

， ，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面；

（2）

解法一：過作垂線，垂足為，連接，易得為與面所成的角，

∴，

∵，

∴平面，

∴為二面角的平面角，

可求得，

在中由余弦定理可得： ，

∴二面角的余弦值為；

解法二：如圖，在平面內，過作的垂線，交于點，由（1）可知，平面平面，

∴平面，

∴直線兩兩互相垂直，

分別為軸建立空間直角坐標系，

易得為與平面所成的角，∴，

則，

，

設平面的一個法向量為，則

且，

∴，且

取，可得平面的一個法向量為，

同理可求得平面的一個法向量為，

∴，

∴二面角的余弦值為．