Question

如圖,已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長都是2,底面正方形兩條對角線相交于O點,M是側棱PC的中點.

(1)求此正四棱錐的體積.

(2)求直線BM與側面PAB所成角θ的正弦值.

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】(1)由題可得,PO⊥底面ABCD.

在Rt△AOP中,

∵AO=AC=,AP=2,

∴PO===.

故VP-ABCD=·S底·PO=×4×=.

(2)由(1)知PO⊥底面ABCD,且OA⊥OB,以O點為原點,OA,OB,OP所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則各點的坐標為A(,0,0),B(0,,0),P(0,0,),M(-,0,),

∴=(,,-),=(-,,0),

=(-,0,).

設平面ABP的一個法向量為n=(x,y,z),

則有即

取x=1,則y=1,z=1,

∴n=(1,1,1),

∴sinθ=cos(90°-θ)===.