Question

如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,CD的中點,計算:

(1)·.

(2)EG的長.

(3)異面直線EG與AC所成角的大小.

 

Answer 1

(1) (2) (3) 45°

【解析】設=a,=b,=c,

則|a|=|b|=|c|=1,

<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,==c-a,

=-a,=b-c.

(1)·=(c-a)·(-a)

=-a·c+=-+=.

(2)=++

=+(-)+(-)

=-++=-a+b+c

∴=(-a+b+c)2

=(-2a·b-2a·c+2b·c)=,

∴||=,即EG的長為.

(3)由(2)知,·=(-a+b+c)·b

=-a·b++c·b=,

∴cos<,>===.

故異面直線EG與AC所成的角為45°.

【方法技巧】用向量法解題的常見類型及常用方法

1.常見類型

利用向量可解決空間中的平行、垂直、長度、夾角等問題.

2.常用的解題方法

(1)基向量法

先選擇一組基向量,把其他向量都用基向量表示,然后根據向量的運算解題.

(2)坐標法

根據條件建立適當的空間直角坐標系,并求出相關點的坐標,根據向量的坐標運算解題即可.