Question

【題目】已知函數f（x）為偶函數，當x＜0時，f（x）=ln（﹣x）﹣ax．若直線y=x與曲線y=f（x）至少有兩個交點，則實數a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設x＞0，則﹣x＜0，

∵f（x）為偶函數，且當x＜0時，f（x）=ln（﹣x）﹣ax，

∴當x＞0時，f（x）=f（﹣x）=lnx+ax．

∴f（x）= ．

若直線y=x與曲線y=f（x）至少有兩個交點，即方程f（x）=x至少有兩個根．

令g（x）=f（x）﹣x= ．

下面研究：

當x＜0時，函數g（x）=ln（﹣x）﹣ax﹣x零點情況：

由g（x）=ln（﹣x）﹣ax﹣x=0，得ln（﹣x）=（a+1）x．

作出y=ln（﹣x）的圖象如圖：

若a+1≥0，即a≥﹣1，則y=ln（﹣x）與y=（a+1）x有1個交點，

若a+1＜0，即a＜﹣1，設直線y=（a+1）x與y=ln（﹣x）的切點為（x0，ln（﹣x0）），

則切線方程為y﹣ln（﹣x0）= （x﹣x0），代入原點（0，0），可得ln（﹣x0）=1，x0=﹣e．

則切點為（﹣e，1），切線斜率為﹣ ，要使直線y=（a+1）x與y=ln（﹣x）有交點，則a+1 ，即a ；

當x＞0時，函數g（x）=lnx+ax﹣x零點情況：

由g（x）=lnx+ax﹣x=0，得lnx=（﹣a+1）x．

作出y=lnx的圖象如圖：

若﹣a+1≤0，即a≥1，則y=lnx與y=（﹣a+1）x有1個交點，

若﹣a+1＞0，即a＜1，設直線y=（﹣a+1）x與y=lnx的切點為（x0，lnx0），

則切線方程為y﹣lnx0= （x﹣x0），代入原點（0，0），可得lnx0=1，x0=e．

則切點為（e，1），切線斜率為 ，要使直線y=（﹣a+1）x與y=lnx有交點，則﹣a+1 ，即 ．

綜上，滿足直線y=x與曲線y=f（x）至少有兩個交點，則實數a的取值范圍是 ．

故選：D．