Question

【題目】規定：點P（x，y）按向量 平移后的點為Q（x+a，y+b）．若函數 的圖象按向量 =（j，k）且|j| 平移后的圖象對應的函數是 +1．
（1）試求向量 的坐標；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知f（2A）+2cos（B+C）=1， ①求角A的大小；
②若a=6，求b+c的取值范圍．
另外：最后一小題也可用“余弦定理結合基本不等式”求解．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數 的圖象按向量 =（j，k）且|j| 平移后的圖象對應的函數是 +1=sin （x+ ）+1．

∴ =（ ，1）．

（2）解：①在△ABC中，

∵已知f（2A）+2cos（B+C）=sin （2A+ ）+1﹣2cosA=1，

∴sin（A+ ）﹣2cosA=0，

即sinAcos +cosAsin =2cosA，∴tanA= ，∴A= ．

②△ABC中，∵由正弦定理可得 = = = ，∴b=4 sinB，c=4 sinC，

∴b+c=4 （sinB+sinC）=4 [sinB+sin（ ﹣B）]

=4 （sinB+sin cosB﹣cos sinB）=4 （ sinB+ cosB）

=12（ sinB+ cosB）=12sin（B+ ）．

∵0＜B＜ ，∴ ＜B+ ＜ ，

∴sin（B+ ）∈（ ，1]，∴b+c=12sin（B+ ）∈（6，12]．

【解析】（1）由題意利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，得出結論．（2）①利用同角三角函數的基本關系，兩角和差的余弦公式，求得tanA的值，可得A的值．②利用正弦定理，三角恒等變換化簡b+c為 12sin（B+ ），再利用正弦函數的定義域和值域，求得 12sin（B+ ）的值域．
【考點精析】利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．