Question

如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀．
（1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最最小？（半個橢圓的面積公式為S=

π

4

lh，柱體體積為：底面積乘以高．本題結果精確到0.1米）

Answer 1

分析：（1）根據題意，建立坐標系，可得P的坐標并設出橢圓的方程，將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，得a=

44 7

7

，依題意，可得l=2a，計算可得答案；
（2）根據題意，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，將（11，4.5）代入方程可得

112

a2

+

4.52

b2

=1，結合基本不等式可得

112

a2

+

4.52

b2

≥

2×11×4.5

ab

，分析可得當ab≥99且l=2a，h=b時，S=

π

4

lh=

πab

2

≥

99π

2

，進而分析可得答案．

解答：解：（1）如圖建立直角坐標系，則點P（11，4.5），
橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，
得a=

44 7

7

，
此時此時l=2a=

88 7

7

≈33.3
因此隧道的拱寬約為33.3米；

（2）由橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，
根據題意，將（11，4.5）代入方程可得

112

a2

+

4.52

b2

=1．
因為

112

a2

+

4.52

b2

≥

2×11×4.5

ab

即ab≥99且l=2a，h=b，
所以S=

π

4

lh=

πab

2

≥

99π

2

當S取最小值時，
有

112

a2

=

4.52

b2

=

1

2

，
得a=11

2

，b=

9 2

2

此時l=2a=22

2

≈31.1，h=b≈6.4
故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小．

點評：本題考查橢圓的實際運用，注意與實際問題相結合，建立合適的坐標系，設出點的坐標，結合橢圓的有關性質進行分析、計算、解題．