Question

如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓．

（1）若最大拱高h為6m，則隧道設計的拱寬l是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應如何設計拱高h和拱寬l？
（已知：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的面積公式為S=πab，柱體體積為底面積乘以高．）
（3）為了使隧道內部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的

2

倍，試確定M、N的位置以及h的值，使總造價最少．

Answer 1

分析：（1）先建立直角坐標系，找到對應橢圓方程再把b=h-3=3與點P坐標代入橢圓方程，即可求出隧道設計的拱寬l是多少；
（2）轉化為求半橢圓的面積最小值問題，對橢圓方程用基本不等式即可求出對應的半橢圓面積以及滿足要求的拱高h和拱寬l．
（3）先求出總造價的表達式，再利用導函數研究其最值即可．

解答：解：（1）如圖建立直角坐標系，
則點P（10，2），橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
將b=h-3=3與點P坐標代入橢圓方程，
得a=6

5

，此時l=2a=12

5

，
因此隧道的拱寬約為12

5

m．（5分）
（2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，
由柱體的體積公式可知：只需半橢
圓的面積最小即可．
由橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

102

a2

+

22

b2

=1．
因為

102

a2

+

22

b2

≥

2×10×2

ab

，即ab≥40，（8分）
所以半橢圓面積S=

πab

2

≥

40π

2

=20π．（10分）
當S取最小值時，有

102

a2

=

22

b2

=

1

2

，得a=10

2

，b=2

2

．
此時l=2a=20

2

，h=b+3=2

2

+3（12分）
故當拱高為（2

2

+3）m、拱寬為20

2

m時，
隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小（13分）
（3）根據題意設M（x，2），N（-x，2），則10≤x＜15
設f(x)=2x+2

2

(x-15)2+(2-0)2

=2[x+

2(x2-30x+299)

]，（10≤x＜15）（11分）
則f′(x)=

2[ x2-30x+229 + 2 (x-15)]

x2-30x+229

令f'（x）=0，?x²-30x+221=0?x=13（x=17舍去），
且10≤x＜13時，f′（x）＜0，13＜x＜15時，f′（x）＞0，
∴x=13時，f（x）取最小值，此時M（13，2），N（-13，2），
代入橢圓方程得b=

25 14

14

∴h=3+b=3+

25 14

14

（13分）

點評：本題是對橢圓方程在實際生活中應用的考查．涉及到了函數的最值問題．一般在研究函數的最值問題時，通常借助于導函數．