Question

設f（x）=xlnx；對任意實數t，記g_t（x）=（1+t）x-e^t．
（1）判斷f（x），g_t（x）的奇偶性；
（2）（理科做）求函數y=f（x）-g₂（x）的單調區間；
  （文科做）求函數y=log_0.1（g₂（x））的單調區間；
（3）（理科做）證明：f（x）≥g_t（x）對任意實數t恒成立．

Answer 1

分析：（1）先求出兩個函數的定義域，由于f（x）的定義域不關于原點對稱得到f（x）為非奇非偶函數，g_t（x）的定義域關于原點對稱，再判斷g_t（-x）與g_t（x）的關系，利用奇偶性的定義加以判斷．
（2）（理）求出函數的定義域，再求出函數的導函數，令導函數大于0求出x的范圍寫出區間即得到遞增區間；令導函數小于0得到x的范圍寫出區間為遞減區間．
（文）通過對參數t的討論，求出函數的定義域，同時判斷出一次函數g_t（x）的單調性，然后利用復合函數的單調性判斷出函數y=log_0.1（g₂（x））的單調性．
（3）構造新函數，通過導數求出新函數的最小值，得到要證的不等式．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域為{x|x＞0}不關于原點對稱，
∴f（x）為非奇非偶函數，
而g_t（x）的定義域為R，
且g_t（-x）=（1+t）（-x）-e^x≠±g_t（x）
∴g_t（x）也為非奇非偶函數
（2）（理科）函數y=f（x）-g₂（x）=xlnx-3x+e²的定義域為（0，+∞），
y'=lnx-2．
由y'＞0得x＜e²由y'＜0得0＜x＜e²
故=f（x）-g₂（x）的單調遞增區間為（e²，+∞）；單調遞減區間為（0，e²）
（文科）當t＞-1時，函數y=log_0.1（g₂（x））的定義域為(

et

1+t

，+∞)
∵g_t（x）=（1+t）x-e^t此時遞增
∴函數y=log_0.1（g₂（x））在(

et

1+t

，+∞)遞減
當t＜-1時，函數y=log_0.1（g₂（x））的定義域為(-∞，

et

1+t

)
∵g_t（x）=（1+t）x-e^t此時遞減
∴函數y=log_0.1（g₂（x））在(-∞，

et

1+t

)遞增
（3）令h（x）=f（x）-g_t（x）=xlnx-（1+t）x+e^t
則h'（x）=lnx-t．由h'（x）=0，得x=e^t，當x＞e^t時，h′（x）＞0
當0＜x＜e^t時，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，e^t）上單調遞減，在（e^t，+∞）上單調遞增，
∴h（x）在（0，+∞）上有唯一極小值h（e^t），也是它的最小值，
而h（x）在（0，+∞）上的最小值h（e^t）=0
∴h（x）≥0，即f（x）≥g_t（x）

點評：求函數的單調區間，一般利用導數，令導函數大于0求出的x的范圍寫出區間為遞增區間；令導函數小于0求出x的范圍寫出區間為遞減區間；有時判斷函數的單調性利用復合函數的法則：同增異減的原則．