Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）證明函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）若x∈[0，2]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證法一： ．

設(shè)x1，x2是區(qū)間（﹣1，+∞）上的兩個任意實數(shù)，且x1＜x2，

于是 = ．

因為x2＞x1＞﹣1，所以x1+1＞0，x2+1＞0，x2﹣x1＞0，

所以f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x1）＜f（x2），

所以函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．

證法二：∵f（x）= ．

∴f′（x）= ．

當(dāng)x∈（﹣1，+∞）時，

f′（x）＞0恒成立，

故函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)

（2）解：由（1）可知，函數(shù)在[0，2]上為單調(diào)增函數(shù)，

于是，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）min=f（0）=1，…（11分） ．

所以，當(dāng)x∈[0，2]時，函數(shù)f（x）的值域為

【解析】（1）證法一：設(shè)x1 ， x2是區(qū)間（﹣1，+∞）上的兩個任意實數(shù)，且x1＜x2 ， 作差判斷f（x1），f（x2）的大小，可得緒論
證法二：求導(dǎo)，根據(jù)x∈（﹣1，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，可得：函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，進而可得函數(shù)的值域．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，以及對函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的理解，了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．