Question

已知向量

m

=（1+cosB，sinB）與向量

n

=（0，1）的夾角為

π

3

，其中A、B、C為△ABC的三個內角．
（1）求角B的大小；
（2）若AC=2

3

，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的夾角公式列出cos

π

3

，利用同角三角函數間的基本關系化簡得到關于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）設出三角形的三邊，由b的值表示出三角形的周長，利用正弦定理化簡后，把（1）求出的sinB代入，再利用和差化積公式及特殊角的三角函數公式化為一個角的余弦函數，由A的范圍，利用余弦函數的值域即可求出周長的最大值．

解答：解：（1）cos＜

m

，

n

＞=cos

π

3

=

1

2

=

m • n

| m || n |

=

sinB

(1+cosB)2+sin2B •1

，
∴

sin2B

2+2cosB

=

1

4

，（2分）即2cos²B+cosB-1=0，
∴cosB=

1

2

或cosB=-1（舍）（4分）
而B∈（0，π），∴B=

π

3

（6分）
（2）令AB=c，BC=a，AC=b，△ABC的周長為l，則l=a+c+2

3

而a=b•

sinA

sinB

，c=b•

sin( 2 3 π-A)

sinB

，
∴l=

b

sinB

[

3

2

+sinA+sin(

2

3

π-A)]=2

3

+4[sinA+sin(

2

3

π-A)]
=2

3

+4×2sin

π

3

cos(-

π

3

+A)=2

3

+4

3

cos(A-

π

3

)（10分）
∵A∈（0，

2π

3

），∴A-

π

3

∈(-

π

3

，

π

3

)，
當且僅當A=

π

3

時，lmax=2

3

+4

3

=6

3

．（12分）

點評：此題考查學生掌握平面向量的夾角公式，靈活運用同角三角函數間的基本關系及特殊角的三角函數值化簡求值，靈活運用正弦定理及和差化積公式化簡求值，掌握余弦函數的值域，是一道中檔題．