Question

在△ABC中，A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，已知向量

m

=（1，2sinA），

n

=（sinA，1+cosA），滿足

m

∥

n

，b+c=

3

a．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sin（B+

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（I）根據所給的向量的坐標和向量平行的條件，寫出向量平行的充要條件，得到關于角A的三角函數關系，本題要求角A的大小，利用整理出來的三角函數值和角是三角形的內角，得到結果．
（II）本題是一個解三角形問題，應用上一問給出的結果，和b+c=

3

a．根據正弦定理把邊之間的關系變化為角之間的關系，逆用兩角和的正弦公式，得到結果．

解答：解：（Ⅰ）由

m

∥

n

，得2sin²A-1-cosA=0，
即2cos²A+cosA-1=0，
∴cosA=

1

2

或cosA=-1．
∵A是△ABC內角，cosA=-1舍去，
∴A=

π

3

．

（Ⅱ）∵b+c=

3

a，由正弦定理，
sinB+sinC=

3

sinA=

3

2

，
∵B+C=

2π

3

，sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

2

，
∴

3

2

cosB+

3

2

sinB=

3

2

，
即sin（B+

π

6

）=

3

2

．

點評：本題是向量平行的運算，條件中給出兩個向量的坐標，代入共線的充要條件的公式運算即可，只是題目所給的模不是數字，而是用三角函數表示的式子，因此代入后，還要進行簡單的三角函數變換．本題是一個綜合題．