Question

（2012•瀘州模擬）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知向量

m

=（1，2sinA），

n

=（2，3cosA）滿足

m

∥

n

．
（I）求sin2

B+C

2

+cos2A的值；
（II）若△ABC的面積S=3，且b=2，求△ABC的外接圓半徑R．

Answer 1

分析：（I）由

m

∥

n

可得4sinA-3cosA=0，可求tanA，結合0＜A＜

1

2

π可求sinA，cosA，由二倍角公式對式子化簡sin2

B+C

2

+cos2A=

1-cos(B+C)

2

+2cos2A-1=

1+cosA

2

+2cos2A-1，代入可求
（II）由S=

1

2

bcsinA可求c，由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA可求a，然后由正弦定理可得2R=

a

sinA

可求

解答：解：（I）由

m

∥

n

可得4sinA-3cosA=0（1分）
∴tanA=

3

4

．且0＜A＜

1

2

π（2分）
∴sinA=

3

5

，cosA=

4

5

（3分）
∴sin2

B+C

2

+cos2A=

1-cos(B+C)

2

+2cos2A-1（5分）
=

1+cosA

2

+2cos2A-1=

59

50

（6分）
（II）由S=

1

2

bcsinA可得3=

1

2

×2c×

3

5

可得C=5（8分）
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA=9+25-2×3×5×

4

5

∴a=

13

（10分）
由正弦定理可得2R=

a

sinA

=

5 13

3

∴R=

5 13

6

（12分）

點評：本題主要考查了向量平行的坐標表示，同角基本關系的基本關系、二倍角公式的應用，正弦定理、余弦定理等知識的綜合應用．