Question

對于，定義一個如下數陣：

其中對任意的，，當能整除時，；當不能整除時，．設．
（Ⅰ）當時，試寫出數陣并計算；
（Ⅱ）若表示不超過的最大整數，求證：；
（Ⅲ）若，，求證：．

Answer 1

 （Ⅰ）解：依題意可得，
　．
　 ．
（Ⅱ）解：由題意可知，是數陣的第列的和，
因此是數陣所有數的和．
而數陣所有數的和也可以考慮按行相加．
對任意的，不超過的倍數有，，…，．
因此數陣的第行中有個１，其余是，即第行的和為．
所以．
（Ⅲ）證明：由的定義可知，，
所以．
所以．
考查定積分，
將區間分成等分，則的不足近似值為，
的過剩近似值為．
所以．
所以．
所以．
所以．

略