Question

已知平面直角坐標系中，點O為原點，A（-3，4），B（6，-2）．C（4，6），D在AB上，且2AD=BD
（1）求

AB

的坐標及|

1

2

BC

|；
（2）若

OE

=

OA

+

OB

，  

OF

=

OA

-

OB

，求

OE

•

OF

；
（3）求向量

DB

與

DC

夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知A，B，C的坐標可直接求

AB

，

BC

，

1

2

BC

（2）由向量的加法及減法的坐標表示可求

OE

=

OA

+

OB

，

OF

=

OA

-

OB

，代入向量的數量積的坐標表示即可求解

OE

•

OF

（3）由已知可得，

DB

=2

AD

，利用向量的坐標表示可求D的坐標進而可求

DB

，

DC

，代入向量的夾角公式cosθ=

DB • DC

| DB || DC |

即可求解

解答：解：（1）∵A（-3，4），B（6，-2），C（4，6）
∴

AB

=（6+3，-2-4）=（9，-6），

BC

=（4-6，6+2）=（-2，8）
∴

1

2

BC

=（-1，4）
（2）∵

OE

=

OA

+

OB

=（-3，4）+（6，-2）=（3，2），

OF

=

OA

-

OB

=（-9，6）
∴

OE

•

OF

=3×（-9）+2×6=-15
（3））∵D在AB上，且2AD=BD，設D（x，y）
∴

DB

=2

AD

∴（6-x，-2-y）=2（x+3，y-4）=（2x+6，2y-8）
∴

6-x=2x+6 -2-y=2y-8

，解可得x=0，y=2即D（0，2）
∴

DB

=（6，-4），

DC

=（4，4）
設

DB

，

DC

的夾角為θ，則cosθ=

DB • DC

| DB || DC |

=

8

52 ×4 2

=

26

26

點評：本題主要考查了向量的基本運算的坐標表示及向量的夾角公式的簡單應用，解題的關鍵是熟練應用基本知識