Question

已知平面直角坐標系中三點坐標分別為A（3，0），B（0，4），C（cosθ，sinθ），θ∈R，則△ABC面積的最大值為（　　）

• A、

  7

  2

• B、

  9

  2

• C、

  17

  2

• D、

  21

  2

Answer 1

分析：由A與B兩點的坐標求出直線AB的方程，然后利用點到直線的距離公式表示出點C到直線AB的距離h即為三角形ABC中AB邊上的高，利用兩角和的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域即可得到h的最大值，再利用勾股定理求出線段AB的長度，進而利用三角形的面積公式即可求出面積的最大值．

解答：解：由A（3，0），B（0，4），
得到直線AB的方程為：y-4=

0-4

3-0

x，即4x+3y-12=0，
則點C到直線AB的距離h=

|4cosθ+3sinθ-12|

5

=

|5sin(θ+β)-12|

5

，（其中sinβ=

4

5

，cosβ=

3

5

），
又sin（θ+β）∈[-1，1]，
則當sin（θ+β）=-1時，h_max=

17

5

，
而|AB|=

32+42

=5，
所以△ABC面積的最大值為

1

2

×5×

17

5

=

17

2

．
故選C

點評：此題考查學生靈活運用點到直線的距離公式及勾股定理化簡求值，靈活運用兩角和的正弦函數公式化簡求值，是一道中檔題．