Question

某市投資甲、乙兩個(gè)工廠，2011年兩工廠的產(chǎn)量均為100萬(wàn)噸，在今后的若干年內(nèi)，甲工廠的年產(chǎn)量每年比上一年增加10萬(wàn)噸，乙工廠第n年比上一年增加2^n-1萬(wàn)噸，記2011年為第一年，甲、乙兩工廠第n年的年產(chǎn)量分別為a_n萬(wàn)噸和b_n萬(wàn)噸．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若某工廠年產(chǎn)量超過(guò)另一工廠年產(chǎn)量的2倍，則將另一工廠兼并，問(wèn)到哪一年底，其中哪一個(gè)工廠被另一個(gè)工廠兼并．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，甲工廠第n年的年產(chǎn)量是構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為100，公差是10，而乙工廠的第n年的年產(chǎn)量是一個(gè)累加和為b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1，故數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式易得；
（Ⅱ）比較兩個(gè)通項(xiàng)公式，根據(jù)情況求出年份即可．

解答：解：（Ⅰ）由題得，甲工廠第n年的年產(chǎn)量是一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)，其首項(xiàng)為100，公差是10，∴a_n=10n+90，
乙工廠的第n年的年產(chǎn)量是一個(gè)累加和為b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ+98…（6分）
（Ⅱ）各年的產(chǎn)量如下表

n	1	2	3	4	5	6	7	8
an	100	110	120	130	140	150	160	170
bn	100	102	106	114	130	162	226	354

∴2018年底甲工廠將被乙工廠兼并．        …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查用數(shù)列解決實(shí)際問(wèn)題．由于比較兩個(gè)工廠的產(chǎn)量時(shí)兩個(gè)函數(shù)的形式較特殊，不易求解，故采取了列舉法，數(shù)據(jù)列舉時(shí)作表格比較簡(jiǎn)捷．