Question

某市投資甲、乙兩個工廠，2008年兩工廠的產量均為100萬噸，在今后的若干年內，甲工廠的年產量每年比上一年增加10萬噸，乙工廠第n年比上一年增加2^n-1萬噸，記2008年為第一年，甲、乙兩工廠第n年的年產量分別為a_n萬噸和b_n萬噸．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若某工廠年產量超過另一工廠年產量的2倍，則將另一工廠兼并，問到哪一年底，其中哪一個工廠被另一個工廠兼并．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，甲、乙兩工廠第n年的年產量分別為a_n萬噸和b_n萬噸．甲工廠第n年的年產量是一個等差數列的項，其首項為100，公差是10，而乙工廠的第n年的年產量是一個是一個累加和為b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1，故數列{a_n}，{b_n}的通項公式易得；
（Ⅱ）比較兩個通項公式，根據情況求出年份即可

解答：解：（Ⅰ）由題得a_n=10n+90，b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1=100+

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ+98
（Ⅱ）由于n，各年的產量如下表

n	1	2	3	4	5	6	7	8
an	100	110	120	130	140	150	160	170
bn	100	102	106	114	130	162	226	354

，由表知2015年底甲工廠將被乙工廠兼并．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查用數列解決實際問題，其步驟是建立數列模型，進行計算得出結果，再反饋到實際中去解決問題．由于比較兩個工廠的產量時兩個函數的形式較特殊，不易求解，故采取了列舉法，數據列舉時作表格比較簡捷．