Question

【題目】已知雙曲線過點且漸近線為，則下列結論正確的個數為（ ）

①的實軸長為；②的離心率為；

③曲線經過的一個焦點；④直線與有兩個公共點.

A.個B.個C.個D.個

Answer 1

【答案】C

【解析】

設雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程，求出的值，可得出雙曲線的方程，然后利用雙曲線的幾何性質可判斷出命題①②③的正誤，將直線的方程與雙曲線的方程聯立，由的符號判斷出命題④的正誤.

由于雙曲線的漸近線方程為，設雙曲線的方程為，

將點的坐標代入雙曲線的方程得，

所以，雙曲線的方程為.

對于命題①，雙曲線的實軸長為，命題①正確；

對于命題②，雙曲線的離心率為，命題②正確；

對于命題③，令，得，所以，曲線經過雙曲線的右焦點，命題③正確；

對于命題④，聯立，消去得，，

則直線與雙曲線只有一個公共點，命題④錯誤.

因此，真命題的個數為.

故選：C.