Question

【題目】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進而證得，根據線面平行判定定理可證得結論；（2）以菱形對角線交點為原點可建立空間直角坐標系，通過取中點，可證得平面，得到平面的法向量；再通過向量法求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得兩個法向量夾角的余弦值，進而可求得所求二面角的正弦值.

（1）連接，

，分別為，中點 為的中位線

且

又為中點，且 且

四邊形為平行四邊形

，又平面，平面

平面

（2）設，

由直四棱柱性質可知：平面

四邊形為菱形

則以為原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：

則：，，，D（0，-1,0）

取中點，連接，則

四邊形為菱形且 為等邊三角形

又平面，平面

平面，即平面

為平面的一個法向量，且

設平面的法向量，又，

，令，則，

二面角的正弦值為：