Question

(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
我們把定義在上，且滿足（其中常數滿足）的函數叫做似周期函數．
（1）若某個似周期函數滿足且圖像關于直線對稱．求證：函數是偶函數；
（2）當時，某個似周期函數在時的解析式為，求函數，的解析式；
（3）對于確定的時，，試研究似周期函數函數在區間上是否可能是單調函數？若可能，求出的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

（1）因為關于原點對稱， 又函數的圖像關于直線對稱，所以 又，  用代替得可知，
．即函數是偶函數；（2）；（3） ．

試題分析：因為關于原點對稱， 又函數的圖像關于直線對稱，
所以， 又，用代替得可知，
．即函數是偶函數；
（2）當時，
；
（3）當時，

顯然時，函數在區間上不是單調函數 
又時，是增函數，
此時
若函數在區間上是單調函數，那么它必須是增函數，則必有
，解得 ．
點評：函數的基本性質有單調性和奇偶性，它們是函數的兩個重要的性質，在解決函數問題中起著非常重要的作用，主要用于判斷函數單調性、求最值、求參數的取值范圍等