Question

過點的直線交直線于，過點的直線交軸于點，，.

（1）求動點的軌跡的方程；

(2)設直線l與相交于不同的兩點、，已知點的坐標為(－2,0)，點Q(0，)在線段的垂直平分線上且≤4，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2)綜上所述，且≠0.

【解析】

試題分析：(1)由題意，直線的方程是，∵，∴的方程是

若直線與軸重合，則，若直線不與重合，可求得直線的方程是，與的方程聯立消去得，因不經過，故動點動的軌跡的方程是 6分

(2)設(x₁，y₁)，直線l的方程為y＝k(x＋2)于是、兩點的坐標滿足方程組 由方程消去y并整理得(1＋4k²)x²＋16k²x＋16k²－4＝0由－2x₁＝得x₁＝，從而y₁＝設線段的中點為N，則N(，) 8分

以下分兩種情況：①當k＝0時，點的坐標為(2,0)，線段的垂直平分線為y軸，

于是，由≤4得：.

②當k≠0時，線段的垂直平分線方程為 y－＝－(x＋)令x＝0，

得m＝∵，∴，

由＝－2x₁－m(y₁－m)＝＋ (＋)＝≤4

解得∴m＝＝  11分

∴當

當時，≥4

∴

綜上所述，且≠0.…13分

考點：本題主要考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，平面向量的坐標運算，均值定理的應用。

點評：難題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（1）求橢圓方程時，應用了參數法，并對可能的情況進行了討論。（2）則在應用韋達定理的基礎上，將m用k表示，并利用均值定理，逐步求得m的范圍。