Question

（2012•鹽城二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且過(guò)點(diǎn)P(

2

2

，

1

2

)，記橢圓的左頂點(diǎn)為A．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)垂直于y軸的直線l交橢圓于B，C兩點(diǎn)，試求△ABC面積的最大值；
（3）過(guò)點(diǎn)A作兩條斜率分別為k₁，k₂的直線交橢圓于D，E兩點(diǎn)，且k₁k₂=2，求證：直線DE恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且過(guò)點(diǎn)P（

2

2

，

1

2

），建立方程，求出幾何量，從而可得橢圓C的方程；
（2）設(shè)B（m，n），C（-m，n），則S_△ABC=

1

2

×2|m|×|n|=|m|•|n|，利用基本不等式可求△ABC面積的最大值；
（3）設(shè)AB、AC的方程，代入橢圓方程可求B、C的坐標(biāo)，從而可得直線BC的方程，整理并令y=0，即可證得直線BC恒過(guò)定點(diǎn)．

解答：（1）解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且過(guò)點(diǎn)P(

2

2

，

1

2

)，
∴

c

a

=

2

2

，

1 2

a2

+

1 4

b2

=1，解得

a=1 b= 2 2 c= 2 2

，
所以橢圓C的方程為x²+2y²=1…4分
（2）解：設(shè)B（m，n），C（-m，n），則S_△ABC=

1

2

×2|m|×|n|=|m|•|n|，…6分
又1=m2+2n2≥2

2m2n2

=2

2

|m|•|n|，所以|m|•|n|≤

2

4

，當(dāng)且僅當(dāng)|m|=

2

|n|時(shí)取等號(hào)…8分
從而S_△ABC≤

2

4

，即△ABC面積的最大值為

2

4

…9分
（3）證明：因?yàn)锳（-1，0），所以AD：y=k₁（x+1），AE：y=k₂（x+1），
由

y=k1(x+1) x2+2y2=1

，消去y，得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-1=0，解得x=-1或x=

1-2k12

1+2k12

，
∴D(

1-2k12

1+2k12

，

2k1

1+2k12

)
同理E（

1-2k22

1+2k22

，

2k2

1+2k22

）
∵k₁k₂=2，∴E(

k12-8

8+k12

，

4k1

8+k12

)…12分
∴直線DE的方程為y-

2k1

1+2k12

=

4k1 8+k12 - 2k1 1+2k12

k12-8 8+k12 - 1-2k12 1+2k12

•(x-

1-2k12

1+2k12

)，
即y-

2k1

1+2k12

=

3k1

2(k12+2)

•(x-

1-2k12

1+2k12

)，即y=

3k1

2(k12+2)

x+

5k1

2(k12+2)

…14分
所以2yk12+(3x+5)k1+y=0，
則由

y=0 3x+5=0

，得直線DE恒過(guò)定點(diǎn)(-

5

3

，0)…16分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，屬于中檔題．