Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)f（x）= ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性（不必證明）；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（k﹣3t2）+f（t2+2t）≤0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵當(dāng)x≥0時(shí)有 ，

∴當(dāng)x≤0時(shí)，﹣x≥0，

∴ （x≤0），

∴

（2）

解：∵當(dāng)x≥0時(shí)有 ，∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)

又∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）是在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)

（注：只判斷f（x）是在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)）

（3）

解：f（k﹣3t2）+f（t2+2t）≤0則f（t2+2t）≤﹣f（k﹣3t2）=f（3t2﹣k）

因f（x）為增函數(shù)，由上式推得，t2+2t≤3t2﹣k，∴2t2﹣2t﹣k≥0

即對(duì)一切t∈R恒有2t2﹣2t﹣k≥0

從而判別式△=4+8k≤0，∴

【解析】（1）依題意，當(dāng)x≤0時(shí)，﹣x≥0，利用 ，可求得當(dāng)x≤0時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，從而可得f（x）的解析式；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，將函數(shù) 分離出常數(shù)2，利用反比例函數(shù)的單調(diào)性可判斷出f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，再利用奇函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，可判斷f（x）的單調(diào)性；（3）利用（2）可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)，將不等式f（k﹣3t2）+f（t2+2t）≤0轉(zhuǎn)化為t2+2t≤3t2﹣k恒成立，利用判別式△=4+8k≤0即可求得k的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種．